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Cinematica de cuerpos rigidos en 3 dimenciones

noviembre 30, 2009

Movimiento de los Cuerpos Rıgidos en 3D
Traslaciones puras en 3D pueden expresarse con con facilidad ya que son
muy similares a el caso en 2D. Como el caso anterior en 2D de nuevo las traslaciones
en 3D pueden representarse por vectores (Un vector de tres componentes
en este caso). De igual manera las rotaciones act´uan sobre las traslaciones y el
movimiento general en 3D puede representarse usando una matriz 4×4 dividida
como se muestra a continuaci´on

De nuevo se emplea la regla de multiplicaci´on

Para describir un movimiento r´ıgido en 3D, se estar´ıa tentado a pensar que en
general seria una rotaci´on alrededor de una l´ınea en el espacio. Esta afirmaci´on
tiende a ser no general ya que tambi´en es permitido una traslaci´on a lo largo del
eje de rotaci´on (l´ınea en el espacio) el resultado entonces de combinar la rotaci´on
mas una traslaci´on a lo largo del eje seria un movimiento de h´elice o de tornillo
ver fig(D.2).
El movimiento en forma de tornillo se representa usando la siguiente matriz

En la ecuaci´on [B.20] la matriz de en medio muestra un movimiento tornillo, es
decir una rotaci´on alrededor del eje ~v seguida por una traslaci´on en direcci´on de
~v. Las otras matrices conjugan la matriz de en medio y sirve para mover la l´ınea
a una posici´on arbitraria en el espacio. El par´ametro p es la frecuencia del tornillo
(vueltas por distancia). Cuando p = 0 se genera un rotaci´on pura, un valor
de p positivo indica un movimiento tornillo en direcci´on la mano izquierda y un
valor de p negativo un movimiento tornillo en direcci´on la mano derecha. Para
mostrar que el movimiento de un cuerpo r´ıgido en general se representa por un
movimiento tipo tornillo, se debe encontrar el valor de los par´ametros ~v, u, y p.
El vector unitario ~v en direcci´on de la l´ınea se encuentra de manera f´acil ya que
debe ser un eigenvector de la matriz de rotaci´on.
El vector u es mas dif´ıcil de encontrar ya que es cualquier vector de posici´on
de cualquier punto en el eje de rotaci´on. Pero se puede especificar u de manera
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sea normal al eje de rotaci´on, imponiendo la condici´on u · ~v
p
2
~v + (I − R)u = t (B.21)
siendo ~v · Ru = ~v · u = 0, por que la rotaci´on es alrededor de ~v, sustituyendo en
[B.22] se encuentra el par´ametro p
p =
2

~v · t (B.22)
Por ultimo se encuentra el par´ametro u resolviendo
(I − R)u = (t − (~v · t)~v) (B.23)
Para entender se plantea el siguiente problema : Dada la matriz de transformaci´on
Encontrar los par´ametros p,,~v y u
Primero se debe encontrar el par´ametro ~v = (vx, vy, vz)T , este par´ametro se
encuentra resolviendo (I − R)~v = 0 esta a causa que por ser ~v el eje de rotaci´on
es invariable por la transformaci´on R
(I − R)~v =
0
BB@

Aplicando cualquier m´etodo reducci´on de matrices encontramos que vz = 0 y
vx = vy, por tanto el vector unitario v es:

Para encontrar el ´angulo de rotaci´on , se observa que ~v no tiene componentes
en la direcci´on de z entonces k · ~v = 0. al ser k perpendicular al eje de rotaci´on,
el efecto de la rotaci´on es k · Rk = cos  entonces cos  = p3/2 y el valor de
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 = /6. Conociendo el valor de los par´ametros ~v y  se procede a encontrar

(~v · t) = 4
Figura B.2: Encontrando el ´angulo de rotaci´on.

Rotacion en 3D
Ahora se estudiara las transformaciones en tres dimensiones. Para conveniencia
usaremos la notaci´on estandarizara en la cual i,j y k representan vectores
unitarios en la direcci´on x,y y z respectivamente. En 3D cualquier rotaci´on es
alrededor de un eje fijo. Por tanto para una rotaci´on en 3D se debe especificar el
´angulo de rotaci´on  y tambi´en un vector unitario ~v en direcci´on el eje de rotaci´on.
Para asignar una matriz de rotaci´on con una dimension de 3×3 se escribe R(, ~v)
R(, k) =
0
B@
cos  −sin  0
sin  cos  0
0 0 1
1
CA
(B.11)
El efecto de la transformaci´on en un punto con coordenadas (x, y, z)
0
B@
x cos  − y sin 
x sin  + y cos 
z
1
CA
=
0
B@
cos  −sin  0
sin  cos  0
0 0 1
1
CA
0
B@
x
y
z
1
CA
(B.12)
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La anterior muestra el componente z del punto esta siempre fijo, el eje z esta fijo
y por tanto es una rotaci´on en el plano xy
De forma similar podemos expresar rotaciones en los eje yz y zx
R(, i) =
0
B@
1 0 0
0 cos  −sin 
0 sin  cos 
1
CA
R(, j) =
0
B@
cos  0 sin 
0 1 0
−sin  0 cos 
1

Notar que el signo en los t´erminos sin() en la rotaci´on R(, j est´an al reves, esto
es a causa la rotaci´on  radianes es medida para este caso en direcci´on manecillas
del reloj,
Como se menciono anteriormente, el resultado de dos rotaciones, una despu´es
de la otra se obtiene usando la multiplicaci´on matricial, Por tanto las rotaciones
en 3D no conmutan es decir el orden como se realicen las transformaciones de
rotaci´on es importante. Para ilustrar la anterior se considera las siguientes rotaciones:

Observemos las dos maneras posibles de combinar las rotaciones en [B.14]

Se observa las soluciones son diferentes. N´otese tambi´en que el resultado no es
una rotaci´on alrededor un eje de coordenadas.
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Observando las matrices representan una rotaci´on, ahora la pregunta que surge
es ¿como poder representar una rotaci´on general en 3D? . La pregunta no es f´acil
de contestar, Como se menciono toda matriz de rotaci´on cumple la relaci´on
R(, ~v)T R(, ~v) = I detR = I (B.15)
Para encontrar la representaci´on matricial de una rotaci´on alrededor de un vector
arbitrario, se puede usar la conjugaci´on. Por ejemplo sea ~w un vector unitario
en el plano xz generando un ´angulo  con el eje z. Una rotaci´on de  radianes
alrededor de este vector pede encontrarse rotando ~w de manera coincida con el
eje z, luego rotar  radianes alrededor del eje z y por ultimo rotando el sistema a
su posici´on inicial definida por w
R(, ~w)= R(, j)R(, k)R−1(, j) (B.16)
En 2D es posible escribir cualquier matriz de rotaci´on usando un sol´o par´ametro,
definiendo esta par´ametro usando la variable .
En 3D resulta que se necesitan tres par´ametros, pero es imposible elegir estos
par´ametros en forma inequ´ıvoca. Por razones de topolog´ıa siempre abra una elecci
´on de par´ametros que den como resultado la misma matriz.Estas imperfectas
parametrizaciones aun as´ı pueden ser ´utiles. Por ejemplo se puede pensar que
una rotaci´on general en 3D es el producto de tres rotaciones alrededor del eje de
coordenadas
R(x, y, z)=

Aparte del echo esta matriz es muy larga, encontramos el problema que cuando
al par´ametro y = /2 la matriz se convierte en
Para la matriz superior encontramos que se encuentra el mismo resultado siempre
que x = z + c donde c es una constante real.
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Dinámica de rotación y traslación
En estos casos el cuerpo se traslada y además rota respecto a un eje perpendicular
al plano de movimiento. En estos casos es conveniente considerar
las rotaciones respecto a un eje que pasa por el centro de masa porque se
cumple que
IG
d
dt
􀂁ω = 􀂁Γext
G (9.31)
o bien para la componente perpendicular al plano del movimiento
IG
d
dt
ω = Γext
G , (9.32)
IGα = Γext
G , (9.33)
además de
M􀂁aG = F􀂁 ext. (9.34)
Puede ser útil la energía cinética, cuya expresión es
IGω2, (9.35)
siendo la primera parte 1
2Mv2G
llamada energía cinética de traslación y la
segunda parte 1
2 IGω2 energía cinética de rotación.

Movimiento de un giroscopio

Los giróscopos son objetos muy interesantes debido a que parecen desafiar la gravedad; Además, en ellos
actúan diversos fenómenos físicos a causa de que el eje de rotación cambia de dirección en todo momento. Éstas
propiedades especiales de los giróscopos son muy importantes debido a que se aplican desde una bicicleta hasta
en un sistema de navegación avanzado como puede ser un transbordador espacial

El mismo, si lo sostenemos con el eje del volante horizontal y se suelta, cuando el volante no esta girando,
el extremo libre del eje cae debido a la gravedad. Si el volante gira, se produce un movimiento circular uniforme del
eje en un plano horizontal, combinado con la rotación del volante alrededor del eje. Éste movimiento del eje, no
intuitivo, se denomina precesión.
Para el estudio de este fenómeno se relaciona el momento de torsión neto que actúa sobre un cuerpo y la razón a
la que cambia el momento angular del cuerpo, dada por la ecuación:
Σ =
dt
dL
 τ (1)
Cuando el volante gira alrededor de su eje de simetría, Li está a lo largo del eje. Cada cambio del momento
angular dL es perpendicular al eje, porque el momento de torsión r w   τ = × también lo es la dirección de L, pero no su magnitud. Los cambios dL siempre están en el plano horizontal x-y, así que el
momento angular y el eje del volante con el que se mueve siempre son horizontales. Es decir, el eje no se cae,
tiene precesión. El cambio infinitesimal del momento angular es dL =τ ⋅ dt 
 , que es perpendicular a L. Esto implica
que el eje del volante del giróscopo giró un ángulo pequeño dθ dado por d dL L  θ = . La razón a la cual se
mueve el eje, dθ / dt , se denomina velocidad angular de precesión: